Nassarre y la Escala del Cielo
por Enrique Alejandro Godoy
Fray Pablo Nassarre, músico inspirado y teórico genial que allá por el año de 1724 publicó en Zaragoza su tratado Escuela Musica, dejó en sus páginas varias descripciones de escalas o particiones que se prestan a la especulación.
El primer “método” que intentaremos describir, es el que se fundamenta en la alternancia de semitonos mayores y menores definidos por la medida de la coma, la cual equivale -según sus cálculos- a la fracción 81/80.
Dicha fracción, se entiende, corresponde a lo que hoy denominamos comúnmente “coma sintónica”, la que es igual a 21,50629 cents (vale recordar aquí que 1 cent equivale a la centésima parte del semitono igualmente temperado).
Nassarre promulga que el semitono menor -denominado Lyma- equivale a 4 comas, y el semitono mayor -denominado Apotome- equivale a 5 comas; asimismo, corrobora este hecho diciendo que el Diesis equivale a 2 1/2 comas, lo que es igual a 1/2 semitono cantable ...
Sabiendo que en la escala corriente Do-Do#, Mib-Mi, Fa-Fa#,Sol-Sol# y Sib-Si son semitonos menores, y Do#-Re, Re-Mib, Mi-Fa, Fa#-Sol, Sol#-La,La-Sib y Si-do son semitonos mayores, fácilmente calculamos que la octava Do-do está dividida en 55 comas.
Aquí se produce una primera contradicción: si la octava Do-do equivale, indefectiblemente, a 1200 cents ... una coma ya no será igual a 21,50629 cents (81/80) sino a 21,818181 cents.
Entonces, se podrá formar una primera escala del siguiente modo:
0: Do 0.000 cents (unísono)
1: Do# 87.273 cents
2: Re 196.364 cents
3: Mib 305.455 cents
4: Mi 392.727 cents
5: Fa 501.818 cents
6: Fa# 589.091 cents
7: Sol 698.182 cents
8: Sol# 785.454 cents
9: La 894.545 cents
10: Sib 1003.636 cents
11: Si 1090.909 cents
12: do 1200.000 cents (octava)
Quien observe el círculo tonal resultante, podrá notar que esta partición deviene en un temperamento regular muy aproximado al mesotónico de 1/6 de coma, con una quinta de 698,182 cents, una tercera mayor de 392,727 cents, una tercera menor de 305,455 cents y una quinta ampliada (o “lobo”) equivalente a 720,0 cents, la que se ubica entre Sol#-Mib.
Más allá en su tratado, en el Libro IV que trata de las proporciones, hallamos un interesante párrafo en el cual vuelve sobre este tema:
De las especies disonantes que se practican en la Musica, tambien son proporciones de este genero, la segunda mayor llamada tono, y la segunda menor, que es el semitono mayor, y el semitono menor; y aunque la coma no se practica formalmente; pero por quanto la ay potencialmente, digo tambien ser proporcion de este mismo genero. El tono, ò segunda mayor se halla de dos proporciones, la una es sexquinona, y la otra es sexquioctava: la sexquinona se halla de 10 a 9, y es ordinariamente el tono que ay del sol al la: hallase tambien de 20 a 18, de 30 a 27, y de 40 a 36, &c. El tono sexquioctavo se halla de 9 a 8, de 18 a 16, de 27 a 24, y de 36 a 32 &c. (...)
El semitono mayor es de la proporcion sexquiquinta decima, la que se halla de 16 a 15, de 32 a 30, y de 48 a 45. El semitono menor es de la proporcion sexquivigesima quarta, q es de 25 a 24, y desde 50 a 48. Yà dixe, que la proporcion de la coma era tambien de este mismo genero, pues es de la sexquiochentesima, que se halla de 81 a 80. Estos son los intervalos, así consonantes, como disonantes, de que se usa la Musica, siendo sus proporciones de este genero superparticular.
Ahora, Nassarre aclara que existen dos medidas de tono: el menor resulta de la proporción sexquinona y equivale a la fracción 10/9 (182,403712 cents); el mayor resulta de la proporción sexquioctava y equivale a la fracción 9/8 (203,910002 cents).
Entre ambos tipos de tono, menor y mayor, existe una diferencia de una coma sintónica exacta (21,50629 cents).
Ya otros autores de la época, como la jerónima mexicana Sor Juana Inés de la Cruz, se ocupaban de dilucidar esta cuestión:
(...) si el temple en un instrumento,
al hacerlo, necesita
de hacer participación
de una coma que hay perdida;
(...) si la proporción que hay
del Ut al Re no es la misma
que del Re al Mi, ni el Fa Sol
lo mismo que el Sol La dista:
que aunque es cantidad tan tenue
que apenas es percibida,
sesquioctava o sesquinona
son proporciones distintas (...)
También existen, volviendo a las palabras de nuestro fraile, dos medidas de semitono: el menor resulta de la proporción sexquivigesima quarta y equivale a la fracción 25/24 (70,672427 cents); el mayor resulta de la proporción sexquiquinta decima y equivale a la fracción 16/15 (111,731285 cents).
He aquí el segundo interrogante:
Si un tono menor se compone de un semitono menor más un semitono mayor ... de qué se compone un tono mayor ?
Es necesario, entonces, ampliar alguno de los semitonos con una coma -o a ambos- resultando un semitono menor “aumentado” (92,178717 cents) o un semitono mayor “aumentado” (133,23757 cents); de modo que, al complementarse alguno de éstos con su contraparte, lleguen a componer un tono mayor cabal.
Esta última operación no es aclarada por Nassarre, por lo cual ha de considerarse como una leve omisión; suponemos que, aún así, ésta era tan necesaria como obvia ... de otro modo, imposible sería cerrar un círculo tonal y conformar una partición.
Desde ya, se hace muy difícil intentar la reconstrucción de una escala tomando como base estos dictámenes, los de Fray Pablo y Sor Juana, pues ninguno de ellos detalla cuáles semitonos eran menores, cuáles mayores, cuáles menores “aumentados” y cuáles mayores “aumentados” ... tampoco sabemos demasiado sobre los tonos: sólo que el Sol-La debe ser de la proporción 10/9 (182,403712 cents), y que el Do-Re debe ser diferente al Re-Mi en una coma, lo mismo que el Fa-Sol del Sol-La debe serlo.
Sin embargo, si nos detenemos sobre estas escuetas definiciones, veremos que una escala que se ajusta en todo a las mismas es la conocida como “entonación justa”, descripta ya por Lodovico Fogliano en su tratado Musica Theorica, publicado en Venecia en 1529.
Se trata de una partición que alterna grupos de tres quintas justas (701,955001 cents) con una quinta reducida en una coma (680,44871 cents), de modo de generar gran cantidad de intervalos totalmente puros.
Fogliano detalla las quintas reducidas: Mib-Sib, Sol-Re y Si-Fa#. Desde luego, a fin de cerrar el círculo se hace necesaria la presencia de una quinta ampliada (742,4736 cents) que sirva de complemento: ésta es la tradicional, Sol#-Mib.
0: Do 1/1 0.000 (unísono)
1: Do# 25/24 70.672 semitono menor
2: Re 10/9 182.404 tono menor
3: Mib 6/5 315.641 tercera menor justa
4: Mi 5/4 386.314 tercera mayor justa
5: Fa 4/3 498.045 cuarta justa
6: Fa# 25/18 568.717 cuarta aumentada
7: Sol 3/2 701.955 quinta justa
8: Sol# 25/16 772.627 quinta aumentada
9: La 5/3 884.358 sexta mayor justa
10: Sib 16/9 996.089 séptima menor pitagórica
11: Si 15/8 1088.269 séptima mayor justa
12: do 2/1 1200.000 (octava)
Como quedó dicho, todas las proporciones enumeradas hasta aquí son abarcadas por esta clase de escala:
25/24 (Do-Do#, Mib-Mi, Fa-Fa#, Sol-Sol#)
16/15 (Do#-Re, Mi-Fa, Sol#-La, La-Sib, Si-Do)
10/9 (Do-Re, Mib-Fa, Mi-Fa#, Sol-La, Si-Do#)
9/8 (Re-Mi, Fa-Sol, Fa#-Sol#, La-Si, Sib-Do)
92,178717 cents (Sib-Si)
133,23757 cents (Re-Mib, Fa#-Sol)
Además, el tono Sol-La tiene la medida que especifica Nassarre, y el Do-Re difiere del Re-Mi en una coma, tanto como el Fa-Sol del Sol-La, tal como reclama Sor Juana Inés de la Cruz.
Pese a estas irrefutables coincidencias, no existen fuentes que corroboren el uso -en la práctica- de una entonación de este tipo, por lo cual sólo debe tomarse como una partición “teórica”.
Asimismo, a pesar de ser el temperamento que contempla la mayor cantidad de intervalos justos -incluyendo sendas tríadas totalmente puras-, las quintas reducidas en una coma íntegra, son demasiado desapacibles al oído ...
Cuál será entonces la solución al problema de la búsqueda de una escala que, además de ser “perfecta” en la teoría, lo sea también en la práctica ?
Es este -sin duda- un dilema que ocupó a innumerables matemáticos, músicos y teóricos, desde la antigüedad hasta el presente; el Padre Nassarre dedicó buena parte de su atención a este tema.
El organista del Real Convento de San Francisco de Zaragoza buscó en los astros la respuesta ...
Según su entender, el movimiento de las esferas celestes está gobernado por proporciones armónicas que actúan entre sí generando un Concierto de los Cielos; opinión que era compartida por otros teóricos de la época, como Andreas Werckmeister y el jesuita Athanasius Kircher.
Así, las distancias que -cree- existen entre los astros, determinan la medida de los diferentes intervalos musicales:
Tierra - Cielo Luna ... 9/8 (tono mayor)
Luna - Mercurio ... 16/15 (semitono mayor)
Mercurio - Venus ... 25/24 (semitono menor)
Venus - Sol ... 6/5 (tercera menor)
Sol - Marte ... 9/8 (tono mayor)
Marte - Júpiter ... 16/15 (semitono mayor)
Júpiter - Saturno ... 25/24 (semitono menor)
Saturno - Cielo Estrellado (u Octavo Cielo) ... 16/15 (semitono mayor)
Aclara, además, que la distancia Sol-Marte equivale al tono Re-Mi, y la distancia Marte-Júpiter equivale al semitono Mi-Fa.
Entonces, partiendo de la nota Sol -equivalente a Tierra- tenemos:
Tierra (Sol)
Luna (La)
Mercurio (Sib)
Venus (Si)
Sol (Re)
Marte (Mi)
Júpiter (Fa)
Saturno (Fa#)
Octavo Cielo (Sol)
Convirtiendo esta reducida escala celestial a números, resulta lo siguiente:
0: Sol 1/1 0.000 cents (Tierra)
2: La 9/8 203.910 cents (Luna)
3: Sib 6/5 315.641 cents (Mercurio)
4: Si 5/4 386.314 cents (Venus)
7: Re 3/2 701.955 cents (Sol)
9: Mi ? 905.858 cents (Marte)
10: Fa ? 1017.589 cents (Júpiter)
11: Fa# 15/8 1088.269 cents (Saturno)
12: Sol 2/1 1200.000 cents (Octavo Cielo)
Podemos apreciar ya aquí una contradicción: la distancia Tierra-Luna, equivalente al tono Sol-La, es ahora de 203,910002 cents (9/8) mientras que antes correspondía este tono a la proporción 10/9 ...
Además, Marte (Mi) y Júpiter (Fa) resultan desplazados una coma respecto de su justa medida.
En fin, no termina ahí la descripción de este “mapa celeste” por Nassarre;
más adelante, da aún otras distancias entre los astros:
Sol - Octava Esfera (Octavo Cielo) ... 4/3 (diatesarón; 498,044999 cents)
Tierra - Sol ... 3/2 (diapente; 701,955001 cents)
Tierra - Mercurio ... 6/5 (tercera menor; 315,641287 cents)
Tierra - Venus ... 5/4 (tercera mayor; 386,313714 cents)
Luna - Júpiter ... 8/5 (sexta menor; 813,686286 cents)
Tierra - Marte ... 5/3 (sexta mayor; 884,358713 cents)
Tierra - Júpiter ... 16/9 (séptima menor; 996,089998 cents)
Tierra - Saturno ... 15/8 (séptima mayor; 1088,268715 cents)
Tierra - Octavo Cielo ... 2/1 (diapasón; 1200,000000 cents)
Están dadas -de esta forma- todas las fracciones que representan a las distintas notas de la escala celeste, sólo falta la correspondiente al tritono, que por ser el intervalo que provoca la máxima disonancia -suponemos- fue obviada deliberadamente.
De todos modos, en otro párrafo de su tratado, dice Nassarre que al tritono le corresponde la fracción 45/32, lo que equivale a 590,223716 cents.
Conformamos a continuación la escala, respetando todas las distancias entre los astros, aunque comenzando de la nota Do para una mejor comprensión:
0: Do 0.000 cents (unísono)
1: Do# 92.172 cents
2: Re 203.910 cents (Sol)
3: Mib 315.640 cents
4: Mi 407.814 cents (Marte)
5: Fa 519.541 cents (Júpiter)
6: Fa# 590.223 cents (Saturno)
7: Sol 701.955 cents (Tierra)
8: Sol# 794.127 cents
9: La 905.858 cents (Luna)
10: Sib 1017.589 cents (Mercurio)
11: Si 1088.262 cents (Venus)
12: do 1200.000 cents (octava)
El resultado es una partición -también del tipo “justa”- con nueve quintas puras (Do-Sol, Sol-Re, Re-La, La-Mi, Si-Fa#, Fa#-Do#, Do#-Sol#, Mib-Sib, Sib-Fa), dos quintas reducidas en una coma (Fa-Do, Mi-Si) y una quinta ampliada (Sol#-Mib).
Lejos de representar esta Scala Celite una solución al problema planteado, más bien se producen algunas contradicciones respecto de los enunciados promulgados por el fraile zaragozano ...
Como que, por ejemplo, la distancia de sexta mayor Tierra-Marte (Sol-Mi) no tiene la cantidad dada por Nassarre (5/3; 884,358713 cents) sino que resulta excedida en una coma (905,8587 cents).
La distancia de séptima menor Tierra-Júpiter (Sol-Fa) tampoco tiene la medida detallada por el fraile (16/9; 996,089998 cents) sino que se excede también en una coma (1017,5899 cents).
Estas afirmaciones de Fray Pablo se deben tomar -sin embargo- como apenas un desliz; ya que, efectivamente, las distancias que él da se hallan de todas formas incluidas en la partición:
884,358713 cents ... Re-Si, La-Fa#, Mib-Do, Mi-Do#, Sib-Sol y Fa-Re.
996,089998 cents ... Sol#-Fa#, Do#-Si, Re-Do, Mi-Re, La-Sol y Fa-Mib.
En cuanto al dictamen de la monja jerónima, aquel se ve violado, ya que el tono Do-Re tiene ahora la misma medida que el tono Re-Mi, correspondiendo ambos a la proporción sexquioctava.
A estas alturas, no cabe duda que estas entonaciones del tipo “justas” -a pesar de ser formalmente impracticables- representaban para los teóricos un ideal de perfección numérica; hallándose aquellas, además, en armonía con los movimientos de los cuerpos celestes.
Si dejamos de lado por un momento estas atribuciones astrales dadas a las notas de una determinada escala, y nos valemos únicamente de las fracciones que las representan cabalmente, veremos que -aún así- el resultado de una escala totalmente teórica sigue siendo una partición justa:
0: Do 1/1 0.000 cents (unísono)
1: Do# 16/15 111.731 cents (semitono mayor perfecto)
2: Re 9/8 203.910 cents (tono mayor perfecto)
3: Mib 6/5 315.641 cents (tercera menor perfecta)
4: Mi 5/4 386.314 cents (tercera mayor perfecta)
5: Fa 4/3 498.045 cents (cuarta justa)
6: Fa# 45/32 590.224 cents (tritono)
7: Sol 3/2 701.955 cents (quinta justa)
8: Sol# 8/5 813.686 cents (sexta menor perfecta)
9: La 5/3 884.359 cents (sexta mayor perfecta)
10: Sib 16/9 996.090 cents (séptima menor perfecta)
11: Si 15/8 1088.269 cents (séptima mayor perfecta)
12: do 2/1 1200.000 cents (octava)
9 quintas justas … Do-Sol, Sol-Re, La-Mi, Mi-Si, Si-Fa#, Do#-Sol#, Sol#-Mib, Sib-Fa, Fa-Do.
2 quintas reducidas (en una coma) … Re-La, Mib-Sib.
1 quinta ampliada … Fa#-Do#.
Volviendo entonces sobre el anterior interrogante: cómo hacer para que una entonación teórica sea aplicable en la práctica, por ejemplo, a un instrumento musical ?
Franchino Gafori, en su tratado Practica Musica publicado en Milan en 1496, describe una práctica llevada a cabo por los constructores de órganos al templar, la cual consistía en reducir levemente las quintas justas. Pero esta referencia es demasiado vaga como para intentar reconstruir una partición hipotética.
Fogliano, en su obra ya mencionada, propone -en cambio- dividir la proporción de la coma en dos partes iguales, de modo de mitigar la “aspereza” de las quintas reducidas.
Mediante este método, se crea una sucesión consecutiva de dos quintas puras por dos quintas reducidas en media coma cada una, conservándose siempre -claro está- la quinta ampliada tradicional (Sol#-Mib):
0: Do 0.000 cents (unísono)
1: Do# 70.672 cents
2: Re 193.160 cents
3: Mib 315.641 cents
4: Mi 386.314 cents
5: Fa 498.045 cents
6: Fa# 579.474 cents
7: Sol 701.955 cents
8: Sol# 772.627 cents
9: La 884.359 cents
10: Sib 1006.840 cents
11: Si 1088.269 cents
12: do 1200.000 cents (octava)
Las quintas reducidas -aunque atenuadas ahora en media coma respecto de la medida que cargaban en cualquiera de las variantes de entonación justa- resultan todavía bastante irritantes al oído; y si bien se conservan aún varios intervalos y algunas tríadas totalmente puras, consideramos a este tipo de partición un tanto irregular.
Sin duda, la solución práctica más viable consiste en distribuir la coma en cuatro partes iguales, aplicando dicha proporción a cada una de las quintas consecutivas, a excepción de la quinta del “lobo”.
Se obtienen así once quintas reducidas (696,57843 cents) y una quinta amplia (737,6373 cents):
0: Do 1/1 0.000 cents (unísono)
1: Do# 76.049 cents
2: Re 193.157 cents
3: Mib 310.265 cents
4: Mi 5/4 386.314 cents (tercera mayor)
5: Fa 503.422 cents
6: Fa# 579.471 cents
7: Sol 696.578 cents
8: Sol# 25/16 772.627 cents
9: La 889.735 cents
10: Sib 1006.843 cents
11: Si 1082.892 cents
12: do 2/1 1200.000 cents (octava)
Este método, descripto ya por Pietro Aron en su tratado Il Toscanello in Musica -publicado en Venecia en 1523-, fue preconizado en innumerables escritos de la época y no cabe duda que fue, además, por sus bondades (once quintas uniformemente reducidas entre sí; ocho terceras mayores puras; nueve terceras menores muy aceptables) el tipo de partición más utilizada en la práctica musical desde mediados del siglo XVI hasta bien entrado el siglo XVIII.
Desde luego, al comparar esta escala con aquella que según Nassarre dictaron los planetas y las estrellas, veremos que poco queda de las medidas que -en la teoría- representaban las distancias celestiales ...
Las tres proporciones de semitono, se reducen ahora a sólo dos (76,049 cents y 117,108 cents); y las dos proporciones de tono, se ven ahora reducidas a una (193,153 cents), exceptuando -claro- aquellos tonos que incluyen en su formación a la quinta amplia.
Si cotejamos la medida de los tonos -menor y mayor- que se generaban en la “escala de los cielos” con la medida única que resulta ahora, podremos apreciar que ésta última se encuentra exactamente a mitad de camino entre aquellas, separada de cada una por media coma:
182,403 cents / 193,153 cents / 203,903 cents
He aquí el porqué: en cualquier entonación, la medida de los tonos resulta de la suma de dos quintas sucesivas, menos una octava ...
En las entonaciones del tipo justo, se generan entonces dos medidas: la que resulta de dos quintas puras (tono mayor) y la que resulta de una quinta pura más una quinta reducida en una coma (tono menor).
En el método de Aron, las dos quintas sucesivas que forman cada tono están reducidas, cada una, en un cuarto de coma; así, un tono resulta media coma más pequeño que el tono mayor, o media coma más grande que el tono menor.
De ahí el nombre con el que se conoce a esta partición: temperamento del tono medio, o más comúnmente, temperamento mesotónico.
Y si aún quedara alguna duda de la aplicación -en la práctica- de esta particular entonación, el mismo Nassarre en su tratado, en el capítulo En que se trata de la afinacion, describe el método que ha de emplearse para templar el órgano, y comienza haciéndolo de la siguiente forma:
Para afinar un Organo, como se deve, despues de compuesta su Cañuteria, podrà observar el Artifice las reglas que dirè. Ha de procurar primera mente ponerlo en el tono natural, en el qual ha de poner el caño del flautado, que le toca al segundo gesolreut, contando por la parte baxa del Organo; (...) Y prosiguiendo todo el flautado (como el mas principal registro de todos) se ha de afinar la quinta de gesolreut con èl, que es delasolre, y despues que este fina todo lo posible, se ha de abaxar un poquito, de modo que no sea notable, y esta diligencia se ha de hazer en todas las demàs quintas que despues se afinaren.
Fino yà el caño de delasolre, se ha de afinar con el mismo de gesolreut el de befabemi blanco, que es tercera mayor. Despues se ha de afinar con delasolre (que quedò yà afinado) su octava àzia baxo, y con este despues que estè, su tercera mayor, que es el sustenido de fefaut. A quien se siguirà la quinta, que es alamirre. Con alamirre se ha afinar la tercera mayor, que es el sustenido de cesolfaut; y despues la quinta, que es elami. Con este se ha deafinar su octava por abaxo, para poder afinar despues su tercera mayor, que es el sustenido de gesolreut.
Afinado yà todo esto, se ha de bolver à gesolreut, que es el primero que se puso en tono, y afinar su octava arriba con èl, con quien se ha de afinar despues su quinta abaxo (que es cesolfaut el que està en medio del Organo) subiendola cosa muy poca, despues que estè fina. Con este cesolfaut se ha de afinar su quinta abaxo (que es fefaut, subiendola como la otra muy poquito, de modo que no sea notable. Y con esta se ha de afinar el otro fefaut (que es su octava por arriba para poder afinar su quinta por abaxo, que es el bemol de befabemi con quien se ha de afinar despues el bemol de elami, que es su quinta por abaxo, y despues su octava.
Afinadas todas estas en la conformidad que he dicho, las demàs se han de afinar con sus octavas (...)
Si entendemos que con abaxar un poquito las quintas (o subir las cuartas cosa muy poca) de modo que no sea notable se refiere Nassarre a desviarlas en un cuarto de coma, entonces podemos concluir que -para la mentalidad de la época- una quinta reducida en 5,37657 cents era perfectamente tolerable al oído.
Por otra parte, el proceso de afinar un determinado caño con su tercera mayor sólo sería posible si este intervalo fuera justo, hecho corroborado por la diligencia de bajar todas las demàs quintas que despues se afinaren.
Por último, considerando que en su método no se menciona a la quinta Sol#-Mib (ni a su inversión) queda claro que este intervalo se deja sin afinar, de modo que “absorba” el exceso generado por la reducción de todas las demás diapentes.
No quedan dudas de que la afinación de la que habla nuestro fraile organista sólo se corresponde con el proceso que resulta de aplicar el temperamento mesotónico ...
Cómo es entonces que en su tratado describe Fray Pablo Nassarre una escala resultante de un Concierto de los Cielos, pero a la hora de templar su órgano se vale -más bien- de una partición terrenal ?
... la respuesta, quizás, la de él mismo al decir:
La practica no haze distincion del tono sexquinono, al sexquioctavo, porque al oìdo es imperceptible su diferencia, solo se queda para la especulacion, distinguiendose solo en los numeros.
